Geometrian opettaminen on periaatteessa hyvin helppoa. Geometria on visuaalisen maailman matemaattinen kuvaus, näin ainakin perusopetuksessa. Geometrian opettaminen on yksinkertaisiin, visuaalista maailmaa koskeviin kysymyksiin vastaamista. Kappaleisiin ja kuvioihin voidaan tutustua vastamalla kysymyksiin: Mistä näitä löytyy? Mitä tällaisella kuvataan? Mitä ilmiöitä tämä aiheuttaa? Mikä tämän nimi on?
Geometrian opetuksen helmasynti on se, että puhtaasta geometriasta siirrytään aivan liian nopeasti aritmetiikkaa tai algebraa sisältävään, analyyttiseen geometriaan. Toinen suoranainen virhe on se, että opetuksessa siirrytään kokonaisuuksien tarkastelusta liian pian osien tarkasteluun.
Geometriaa on olemassa myös ilman lukuja ja laskutoimituksia. Alkeellisista geometrisista piirroksista alkaen päästään vaikka kuinka pitkälle pelkästään konstruoimalla kuvioita esimerkiksi harppia ja viivainta käyttäen. Tällaisen geometrisen tiedon konstruoimisen täytyisi olla geometrian ydin, mutta silti esimerkiksi oppikirjat tahtovat hyvin aikaisessa vaiheessa ottaa mukaan piirien tai pinta-alojen laskemista.
Oppimisen tahti
Geometrian käsitetiedon oppimisesta kuvaamaan käytetään yleisesti niin sanottua van Hielen teoriaa (kts. esimerkiksi Silfverberg, 1999). Teorian ajatuksena on, että geometria opitaan viiden tason kautta. Näistä kolme ensimmäistä kuuluu perusasteen oppimäärään. Ensimmäinen taso on visualisoinnin taso, jolla visuaalinen havainto on tärkein. Tälle tasolle kuuluu kokonaisuuksien hahmottaminen, kuvioiden ja kappaleiden tunnistaminen, nimeäminen ja vertailu kokonaishahmon perusteella. Alkuopetukssa tulisi keskittyä nimenomaan ensimmäisen tason läpikäymiseen; tärkeintä siis on, että lapsi pitää kolmiota kolmiona, koska se näyttää kolmiolta.
Kappaleiden ja kuvioiden osiin mennään vasta toisella tasolla. Toisen tason voidaan ajatella sijoittuvan perusasteen kolmannen ja kuudennen luokan väliin. Tällä tasolla oppilaat oppivat kappaleiden ja kuvioiden kantavan ominaisuuksia. Siis, että kappaleista löytyy tahkoja, kärkiä ja särmiä, kuvioista sivuja ja kulmia. Toisella tasolla kappaleita ja kuvioita vertaillaan jo ominaisuuksien, ei pelkästään visuaalisen kokonaiskuvan avulla.
Kolmas van Hielen taso sisältää taidon esimerkiksi määritellä pätevästi kuvioita, kappaleita, kuvio- ja kappaleluokkia. Kolmannelle pitäisi siirtyä vasta kun toinen taso on hyvin hallussa, kuitenkin sekä opetussuunnitelmissa että oppikirjoissa kolmannen tason asioita on jopa jo alkuopetuksessa.
Geometrian opetuksessa pitäisi siis aluksi antaa tarpeeksi aikaa visuaaliselle havainnoimiselle ja geometrian löytämiselle ympäröivästä arkitodellisuudesta. Vasta kun tämä on kunnolla hahmotettu, on aika siirtyä tutkimaan geometriaa matemaattisesti. Myös liian spesifien, erityisesti kappaleiden nimien käyttöä kannattaa välttää. Esimerkiksi nimitystä suorakulmainen särmiö ei ole mielekästä käyttää ennen kuin oppilaat tietävät mikä on suora kulma.
Omituisuuksia OPS:ssa
Perusasteen opetussuunnitelman perusteet sisältää geometrian kohdalla monia muitakin omituisuuksia. Yksi näistä on ehdottomasti suoran ja puolisuoran opettaminen jo 1–2-luokilla. Kumpikin käsitteistä vaatii esimerkiksi äärettömyyden ymmärtämistä, eikä siksikään ole järkevä käsite opettaa nuorille oppilaille. Tämän lisäksi käsitteiden sovellukset tulevat, yhdensuuntaisuutta lukuunottamatta, vasta vuosien päästä yläluokilla.
Moderni geometrian opettaja lähtee liikkeelle kokonaisuuksista ja reaalimaailmasta ja siirtyy rauhallisesti kohti kokonaisuuksien osia, luokittelua, määrittelemistä ja analyyttistä geometriaa. Näin toimiessaan opettaja vastaa opetuksellaan geometrisen ajattelun kehittymiseen.
Lähteet:
Silfverberg, H. (1999). Peruskoulun yläasteen oppilaan geometrinen käsitetieto. University of Tampere.
Geometrian ja mittausopin suhteen vallitsee vähän samanlainen käsitesekaannus kuin matematiikan ja laskennon. Sifverbergin ja kolumnistin siteeraamat psykologiset kategoriat kuuluvat enemmälti mittausopin puolelle, niin kuin kuuluu kokonaan se, mitä opetussuunnitelmissa halutaan nimittää geometriaksi. Jo Eukleideen ajoista on kuitenkin ollut olemassa varsinainen geometria loogisena oppirakennelmana avaruuden rakenteesta. Sitä myös, ihan oikealla nimellä, opetettiin Suomenkin oppikouluissa viime vuosisadan jälkipuoliskolle asti, ei ilmeisesti ihan vailla onnistumisia. Monissa maissa näin tehdään yhä. Olisi mielenkiintoista ymmärtää, miksei geometrian opetusta Suomessa pidetä mahdollisena tai toivottavana.
Matti Lehtinen | keskiviikkona 7. huhtikuuta klo 13:35 #Toki on näin, että geometria on eräs hienoimmista matematiikan osa-alueista. Mutta on myös niin, että hyvin visuaalisessa matematiikan osa-alueessa on syytä lähteä liikkeelle lapsen maailmaa lähellä olevasta asiasta; visuaalisesta havaitsemisesta ja sen tulkinnasta. Mikäli geometria aloitetaan alkuopetuksessa pisteen määritelmästä ja sitä kautta siirtymällä pikku hiljaa visuaalisuuteen, tehdään pitkälti samoin, kuin jos lukukäsitteen opettaminen aloitettaisiin Zermelo-Fraenkelin aksioomista ja ensimmäoisenä konstruoitaisiin luonnollisten lukujen joukko.
Nähdäkseni matemaattisen ajattelun, tässä tapauksessa geometrisen ajattelun, alkutaival on nimenomaan ympäröivän avaruuden suhteiden ymmärtämistä ja sitä kautta geometrisiin abstraktioihin menemistä.
Geometrian soisi edelleen olevan oma oppiaineensa, mutta kun niin ei ole, vaan sitä on läpi perusasteen 10-20 oppituntia vuodessa, ei kovin syvälliseen teoriankehittelyyn ole mahdollisuuksiakaan.
Ainoa mahdollisuus lisätä Euklidisen geometrian ymmärrystä on muuttaa liika analyyttinen geometria enemmän kohti harppi-viivain, ym. konstruktioita. Näin kommentoijan vaatimalle ”oikealle” geometrialle tai tarkemmin sanottuna matemaattiselle ajattelulle geometrian kontekstissa saadaan enemmän mahdollisuuksia.
Vesa-Matti Sarenius | keskiviikkona 7. huhtikuuta klo 19:03 #En toki tarkoita geometrian opetuksen aloittamista Hilbertin aksioomista (piste ja suorahan ovat määrittelemättömiä objekteja). Mutta jossain vaiheessa soisi ainakin osalle oppilaista sen elämyksen ja tiedon, että matematiikka ei olennaisesti ole ympäristöämme ja sitä saamiamme havaintoja kuvaileva ja koodaava luonnontiede vaan sisäisesti eheä rakennus, totuutensa, yksinkertaisuutensa ja selkeytensä vuoksi myös minkä tahansa uskomusrakennelman päihittävä. Aikanaan hylätyssä opettamisen järjestyksessä aavistusta tästä alkoi tulla todistuksin rakentuvassa euklidisen geometrian opetuksessa; vanhan keskikoulun aikana seitsemäntenä kouluvuotena.
Kirjoittajan näkemys harpin ja viivaimen käytön lisäämisestä on kaikin puolin kannatettava. Sehän olisi sopusoinnussa myös kädentaitojen merkitystä korostavien käsitysten kanssa.
Matti Lehtinen | tiistaina 13. huhtikuuta klo 19:47 #