Käytämme lukuja tai lukuihin eri tavoin perustuvia laitteita joka päivä. Harvoin kuitenkaan pysähdymme miettimään, millaisia lukuja on olemassa. Ihmisen käsitys luvuista on alun perin syntynyt havainnoimalla esineiden lukumääriä ja kokoja. Toisaalta on löydetty myös lukuja, joiden yhteys arkiseen ympäristöömme ei välttämättä ole itsestään selvä.
Omenoiden laskentaa
Ehkäpä sanasta luku tulee ensimmäisenä mieleen luonnollisten lukujen joukko. Tämä tuttu lukujoukko alkaa 1, 2, 3 jne. (Jotkut matemaatikot pitävät myös nollaa luonnollisena lukuna; nollan kuuluminen tai kuulumattomuus luonnollisiin lukuihin on vain määrittelykysymys. Asiasta kannattaa olla tietoinen matemaattisia tekstejä lukiessa.) Luonnollisilla luvuilla voidaan laskea lukumääriä, vaikkapa omenoita, kissoja tai villapaitoja. On todennäköistä, että jo hyvin varhaisilla kansoilla on ollut nimityksiä ainakin pienimmille luonnollisille luvuille.
Luonnolliset luvut ovat osa kokonaislukujen joukkoa. Kokonaislukuihin kuuluvat myös negatiiviset luvut -1, -2, -3 jne. sekä nolla, jotka ovat huomattavasti uudempia keksintöjä kuin luonnolliset luvut. Palaamme nollaan ja negatiivisiin lukuihin vilkaistuamme ensin murtolukuja.
Pienempiä palasia
Täsmällinen jakaminen on jo tuhansia vuosia sitten ollut matemaattinen ongelma, jonka ratkaisulle on ollut suuri käytännöllinen tarve. Esimerkkejä tästä ovat viljelysmaan tai ruokamäärän jakaminen osiin. Niinpä ei ole ihme, että jo muinaiset egyptiläiset ja mesopotamialaiset tunsivat murtoluvut. Murtoluvuilla voidaan esittää vaikkapa pizzan jakaminen tietyn suuruisiin osiin.
Jokainen murtoluku on kahden kokonaisluvun jakolaskun tulos eli kahden kokonaisluvun suhde. Esimerkiksi luku 4/5 (neljä viidesosaa) saadaan, kun neljä jaetaan viidellä. Matemaatikkojen kielessä murtolukuja kutsutaan rationaaliluvuiksi. Myös kokonaisluvut sisältyvät rationaalilukuihin: esimerkiksi 7 on sama kuin 7/1 (tai vaikkapa 14/2), siis kahden kokonaisluvun suhde.
Nolla ei ollut tyhjä keksintö
Mitä hyötyä on luvusta, joka periaatteessa tarkoittaa tyhjää tai olematonta? Sillä on paljonkin merkitystä. Esimerkiksi muinaiset roomalaiset eivät käyttäneet nollaa. Tämä vaikeutti lukujen merkitsemistä ja tavallisten laskutoimitusten tekemistä. Nollan keksiminen oli suuri edistysaskel. Edellä mainittujen käyttötapausten lisäksi esimerkiksi monien yhtälöiden ratkaisu perustuu esitysmuotoon, jossa yhtälön toinen puoli on nolla. Useat tärkeät matemaattiset ideat liittyvät funktioiden nollakohtiin. Tällaiset oivallukset olivat mahdottomia ennen nollan keksimistä.
Samoin negatiivisten lukujen keksiminen helpotti suuresti yhtälöiden ratkaisemista. Arkipäivän käytössä negatiivisilla luvuilla voidaan merkitä vaikkapa puuttuvaa rahaa eli velkaa.
Reaalilukuja on äärettömän tiheässä
Useimmille meille on koulussa esitelty lukusuora: yleensä vaakasuoraan piirretty viiva, joka esittää peräkkäisiä lukuja. Millaisia lukuja lukusuoran esittämä lukujoukko oikeastaan sisältää? Selvästi sieltä löytyvät ainakin rationaaliluvut, esimerkiksi 4/5 (eli 0,8) tai 2 tai -3. Jo antiikin Kreikassa kuitenkin huomattiin, että on olemassa myös irrationaalilukuja.
Irrationaaliluvut sijaitsevat lukusuoralla, mutta niitä ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena. Tunnettu esimerkki irrationaaliluvuista on π (pii, likimain 3,14), joka esiintyy ympyröihin liittyvissä laskuissa. Lukusuoralla on siis rationaalilukuja ja irrationaalilukuja. Niiden yhteisnimitys on reaaliluvut; reaalilukujen joukko tarkoittaa kaikkia lukusuoran lukuja. Reaalilukuja on lukusuoran joka pisteessä, äärettömän tiheässä.
Meidän ei tarvitse rajoittua vain lukusuoralle – miksi emme vilkaisisi, mitä löytyy lukusuoran ulkopuolelta? Paljastuu, että siellä on kompleksiluvuiksi nimitettyjä lukuja. Kompleksiluvuissa on reaalilukuosa ja imaginäärilukuosa. Ensimmäinen ilmoittaa luvun sivusuuntaisen paikan tasossa, kuten paperilla, ja toinen ilmoittaa luvun pystysuuntaisen paikan.
Esimerkiksi 2 + 3i on kompleksiluku. Reaaliosa 2 tarkoittaa, että siirrymme ensin tavalliseen tapaan kaksi askelta lukusuoralla eli reaaliakselilla nollasta oikealle. Imaginääriosa +3i tarkoittaa, että poistumme lukusuoralta ja siirrymme tasossa kolme askelta ylöspäin. Reaaliakselin nollan kohdalta leikkaavaa ”pystysuuntaista lukusuoraa” kutsutaan imaginääriakseliksi. Kompleksiluvuista on hyötyä tieteellisissä ja teknisissä laskelmissa.
Valtavia lukuja
Lukujen suuruudella ei ole ylärajaa. Esimerkki jättiläisluvusta on googol: siinä on ykkösen perässä sata nollaa. Hakukone Googlen nimi tulee luvunnimestä googol. Hakukoneen perustajat nimittäin kirjoittivat nimen vahingossa väärin, ja näin syntyi huipputunnettu nimi Google.
Eräässä matemaattisessa todistuksessa esiintyvä käsittämättömän suuri luku tunnetaan nimellä Grahamin luku. Jos Grahamin luvun yrittäisi kirjoittaa tavallisella lukujen merkintätavalla eli numeroiden jonona, koko maapallolta (ja itse asiassa koko ihmisten tuntemalta alueelta avaruudessa) loppuisi tila, vaikka numerot kirjoittaisi niin pieninä kuin teknisesti on mahdollista! Jättiläislukuja voidaan kuitenkin käsitellä matematiikassa erilaisten lyhennysmerkintöjen avulla.
Äärettömyyksiä ja eksoottisia lukuja
Edellä esitetyt jättiluvut ovat valtavan suuria, mutta ne ovat silti äärellisiä. Ääretön on jotain vielä suurempaa. Matemaatikoilla oli vuosisatojen ajan kinaa siitä, pitäisikö ääretön hyväksyä matemaattisena käsitteenä vai ei. Nykyään ääretöntä kuitenkin käytetään rohkeasti monissa tilanteissa.
Yllättävältä saattaa tuntua, että ei ole vain yhtä ääretöntä vaan äärettömyyksiäkin on eri suuruisia. Vaikka sekä luonnollisten lukujen että reaalilukujen lukumäärä on ääretön, reaalilukujen lukumäärä on ”suurempi ääretön” kuin luonnollisten lukujen lukumäärä!
Kun ääretön hyväksytään mukaan lukuihin, avautuu kiinnostavia mahdollisuuksia. Surreaalilukujen joukko sisältää reaalilukujen lisäksi useita erilaisia äärettömän suuria lukuja sekä ”äärettömän pientä” etäisyyttä lukusuoralla kuvaavia lukuja (infinitesimaaleja).
Lukujen lajit eivät toki lopu tähän. Esimerkiksi ykköstä suuremmat luonnolliset luvut voidaan luokitella alkulukuihin ja yhdistettyihin lukuihin, ja tämä on vain eräs lukemattomista esimerkeistä. Kaikki edellä esitellyt lukujoukot voidaan jakaa lukujen ominaisuuksien perusteella lähes loputtomaan määrään lajeja, joiden käyttäytymistä matemaatikot taukoamatta tutkivat.
